1.3 6 линейные неравенства с одной переменной. Конспект урока "решение неравенств с одной переменной"

Уравнения с одной переменной. Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

Теоремы о равносильности уравнений. Первые три теоремы - «спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение,равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение

Следующие три теоремы - «беспокойные», они работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(х)=g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(х) = g(х);

б) нигде в этой области не обращается в 0 - то получится уравнение f(х) h(х) = g(х) h(х), равносильное данному.

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному: f(х)n = g (x)n .

Теорема 6. Если f(х) > 0 и g (х) > 0, то логарифмическое уравнение

Равносильно уравнению f(х) = g(x).

Линейные неравенства с одной переменной. Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.

Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Как решать линейные неравенства с одной переменной вида ax+b>cx+d?

Для этого используем всего два правила.

1) Слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

2) Обе части неравенства можно (или другой переменной). При делении на положительное число знак неравенства не меняется. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

В общем виде решение линейного неравенства с одной переменной

Cx + d\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

можно изобразить так:

1) Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

2) Если число перед иксом не равно нулю (a-c≠0), обе части неравенства делим на a-c.

Если a-c>0, знак неравенства не изменяется:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a-c=0, то это — частный случай. Частные случаи решения линейных неравенств рассмотрим отдельно.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Это — линейное неравенство. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как , 10 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. , на минус бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, 10 записываем в ответ с круглой скобкой.

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 10>

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как неравенство нестрогое, -2,3 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от -2,3 идёт вправо, на плюс бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка закрашенная, -2,3 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком.

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку 3>0, знак неравенства при этом не изменяется:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как неравенство строгое, x=2/3 на числовой прямой изображаем выколотой точкой.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 2/3 записываем с круглой скобкой.

С одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие - нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.

1. Равносильность неравенств

Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.

Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.

Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.

Определение 2. Если решение неравенства

содержится в решении неравенства

то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)

Например, неравенство х 2 >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х 2 -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Предмет: Алгебра
Тема: Решение неравенств с одной переменной

Цели урока:

Образовательные:

организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.

Воспитательные:

развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)

1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]

Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет

2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:

2)

3)

Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .

Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.

Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.

Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,

Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.

Тренажер

Решите неравенство и отметьте его решение:

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. Выводы

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.

V. Итоговое тестирование

1) Решением неравенства с одной переменной называется…

а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;

б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое

неравенство;

в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.

2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:

а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?

3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:

а) (- ∞; 4); б) (4; +∞); в) }